Wednesday, September 7, 2011

Chapitre 14 : Intégrales Doubles et Triples


1 Intégrales doubles

1.1 Description hiérarchique d'une partie fermée bornée de $ \mathbb{R}^{2}$

Définition :   On appelle description hiérarchique du domaine $ \Delta $ une partie fermée bornée de $ \mathbb{R}^{2}:$ l'existence de 2 réels $ a$ et$ b$ et de 2 applications continues sur $ \left[ a,b\right] $, notées $ u$ et $ v $ tels que $ a<b$ et $ \forall x\in\left[ a,b\right] $, $ u(x)\leqslant v(x)$, avec
\begin{displaymath} (x,y)\in\Delta\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}[c]{l} ... ...right] \\ y\in\left[ u(x),v(x)\right] \end{array} \right. \end{displaymath}
Ce qui peut s'illustrer par la figure ci-dessous.
\includegraphics[

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Fonctions de plusieurs variables : Différentiabilité


1 Fonctions $ \mathbb{R}^{p}\rightarrow\mathbb{R}$, Dérivées Premières

Dans cette partie, toutes les fonctions sont supposées définies sur un ouvert $ \mathcal{U}$ de $ \mathbb{R}^{p}$.
On travaillera toujours sur ce domaine $ \mathcal{U}$, sur lequel on a donc une application.

1.1 Application de classe $ \mathcal{C}^{1}$ sur $ \mathcal{U}$

Définition :   $ f:\mathbb{R}^{p}\rightarrow\mathbb{R}$, définie sur $ \mathcal{U}$, un ouvert de $ \mathbb{R}^{p}$,
on appelle dérivée partielle de$ f$ par rapport à la $ i^{\grave{e}me}$ variable, au point $ u=\left( x_{1}, x_{2},\ldots, x_{p}\right) :$
$\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}\left( x_{1}, x_{2},\ldots, ... ...t) -f\left( x_{1}, x_{2},\ldots, x_{i},\ldots, x_{p}\right) }{t-x_{i}} $
si cette limite existe.
Sinon, on dit que $ f$ n'admet pas de dérivée partielle par rapport à la $ i^{\grave{e}me}$ variable, au point $ u=\left( x_{1}, x_{2},\ldots, x_{p}\right) $.
On parle parfois de dérivée partielle première.
Remarque :   Quand il n'y a que 2 ou 3 variables on note souvent les dérivées partielles,
$\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y},... ...ême }\dfrac{\partial g}{\partial \rho}, \dfrac{\partial g}{\partial \theta} $

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Chapitre 9 : Séries numériques


1 Convergence des Séries Numériques


1.1 Nature d'une série numérique

Définition :   Soit $ \left( u_{n}\right) _{n\in\mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $ \mathbb{K}$ $ \left( \mathbb{K}=\mathbb{R}\text{ ou }\mathbb{C}\right) $.
On appelle suite des sommes partielles de $ \left( u_{n}\right) _{n\in\mathbb{N}}$, la suite $ \left( s_{n}\right) _{n\in\mathbb{N}}$, avec $ s_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_{k}$.
Définition :     On dit que la série de terme général $ u_{n}$, converge $ \Leftrightarrow$ la suite des sommes partielles $ \left( s_{n}\right) _{n\in\mathbb{N}}$ converge.
Sinon, on dit qu'elle diverge.
Notation :   La série de terme général $ u_n$ se note $ \displaystyle \sum u_n$.
Définition :   Dans le cas où la série de terme général $ u_{n}$ converge, la limite, notée $ s$, de la suite $ \left( s_{n}\right) _{n\in\mathbb{N}}$ est appelée somme de la série et on note : $ s=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}u_{n}$.

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