1 Intégrales doubles
1.1 Description hiérarchique d'une partie fermée bornée de 
Définition : On appelle description hiérarchique du domaine
une partie fermée bornée de
l'existence de 2 réels
et
et de 2 applications continues sur
, notées
et
tels que
et
,
, avec
On fera attention à ne pas commettre l'erreur du débutant qui cherche les bornes extrèmes pour les 2 variables independament les unes des autres, et transforme tous les domaines en rectangle...
Exemple : On va prendre le domaîne du plan défini par :
.
Il est élémentaire de faire une figure de ce domaîne, qui est un triangle.
En travaillant sur cette figure, on obtient facilement une description hiérarchique :![\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} x\in\left[ 0,1\right] \\ y\in\left[ 0,x\right] \end{array} \right.\end{displaymath}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s7NQ1VkHqdWg4cEa0WjaFsKq4V6CpqYy7_eXDTugD1bfm9E1ivltUtp5ql2ofYPCq053I0IIqZdG1Eefsjo4QqVtymKn4wIwREhN996YMtWQE=s0-d)
Il est élémentaire de faire une figure de ce domaîne, qui est un triangle.
En travaillant sur cette figure, on obtient facilement une description hiérarchique :
1.2 Intégrale double de
continue sur
, un fermé borné de 
Définition :
continue sur
, un fermé borné de
, si on dispose d'une description hiérarchique de
, on appelle intégrale double de
sur 
Exemple : On va intégrer la fonction
sur ![\begin{displaymath}D:\left\{ \begin{array}[c]{c} x\geqslant0\\ y\geqslant0\\ x+y\leqslant1 \end{array} \right. \end{displaymath}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_snv50QQDn2on_TiLKMx7QbBg0UUv6FCjtoRzAi8fRmcdTxw3V3XFrL586-OaUED-Lm_rMUZ42erSFLfrQzDycGqPbezHb6XBXR7kQA5wPOwSc=s0-d)
On cherche d'abord une description hiérarchique du domaîne
ce qui donne :
On cherche d'abord une description hiérarchique du domaîne
1.3 Théorème de Fubini : inversion des bornes
Théorème : Si on a par ailleurs :
avec
et
,
, alors :
1.4 Un cas particulier
On va se placer dans un cas très particulier puisque :Et d'autre part :
Alors, par linéarité des intégrales simples sur un intervalle :
Ainsi, dans ce cas :
1.5 Propriétés
1.5.1 Linéarité
Théorème :
continues sur
, un fermé borné de
, on dispose d'une description hiérarchique de
.
et
deux réels.
Alors :
Alors :
1.5.2 Positivité
Théorème :
continue, positive, sur
, un fermé borné de
, on dispose d'une description hiérarchique de
.
Alors :
Alors :
1.5.3 Additivité selon les domaines
Théorème :
continue, sur
et
, deux fermés bornés de
, on dispose d'une description hiérarchique de
et
.
De plus
est au plus une courbe. Alors :
De plus
Théorème : Si
est continue et positive sur
, avec, de plus,
, alors :
1.6 Changement de variables
Théorème :
de classe
,
et
deux ouverts de
.
et
deux fermés bornés de
,
, et
.
De plus
.
On suppose que les points de
qui ont plusieurs antécédants sont de surface nulle.
On note :
,
le jacobien de
en
, et,
la valeur absolue du jacobien.
Alors :
De plus
On suppose que les points de
On note :
Alors :
Remarque : On notera la valeur absolue du jacobien et la pseudo-simplification.
On rappelle que : Remarque : Notons qu'on fait un changement de variable :
- pour simplifier le domaine, ce qui est nouveau
- ou pour simplifier le calcul des primitives emboîtées.
Notons enfin que le domaine change et donc sa description hiérarchique aussi.
1.7 Changement de variables en coordonnées polaires
Théorème : On pose
, et
Preuve. En effet

Exemple : On va intégrer la fonction
sur ![\begin{displaymath}D:\left\{ \begin{array}[c]{c} x\geqslant0\\ y\geqslant0\\ x^{2}+y^{2}\leqslant1 \end{array} \right. \end{displaymath}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_unVdblznPa3EuXoHnIfRab6JZTqmklDcQc38TfMVzw6eM-Njg9np0dX1H2S-8YMogUka_Lj5oRtxZpeDhjZ46u9d2DTJHuoBqkptBX0_5h5UQR=s0-d)
On cherche d'abord une description hiérarchique du domaîne en polaires
ce qui donne, compte tenu que 
On cherche d'abord une description hiérarchique du domaîne en polaires
2 Intégrales triples
2.1 Description hiérarchique de
, intégrale triple de
continue sur
un fermé borné de 
On définit alors l'intégrale triple de
2.2 Changement de variables
Sous des hypothèses équivalentes à la dimension 2,2.3 Coordonnées cylindriques
2.4 Coordonnées sphériques
On notera sur la figure la définition des coordonnées sphériques.Remarque : Math : Les physiciens utilisent l'angle entre
et
qui appartient donc à
.
Dans la formule, au niveau de la valeur absolue du jacobien, ils échangent ainsi
et
.
Attention, parfois, ils changent aussi le nom des angles...
Dans la formule, au niveau de la valeur absolue du jacobien, ils échangent ainsi
Attention, parfois, ils changent aussi le nom des angles...
3 Calculs divers
3.1 Aire ou volume de 
Il suffit de calculer 3.2 Masse
Si on a3.3 Centre d'inertie
Avec les mêmes notation, et3.4 Moments d'inertie
Pour un solide, un moment d'inertie peut se calculer par rapport à un point, une droite ou un plan qu'on appelle dans tous les casOn note
Toujours avec les mêmes notations, on a :
Avec Maple
C'est le package « student » qui possède les mots clefs permettant de calculer des intégrales doubles ou triples.
Les deux commandes sont « Doubleint » et « Tripleint ».
Ce sont des formes inertes, il faut leur appliquer « value » pour avoir le calcul effectif.
Pas de faux espoirs cependant, il nous faut une description hiérarchique du domaine pour que ce soit utilisable...
Les deux commandes sont « Doubleint » et « Tripleint ».
Ce sont des formes inertes, il faut leur appliquer « value » pour avoir le calcul effectif.
Pas de faux espoirs cependant, il nous faut une description hiérarchique du domaine pour que ce soit utilisable...
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